05.06.2022
Что такое изометрическая проекция детали. Аксонометрия
Аксонометрические проекции применяются для наглядного изображения различных предметов. Предмет здесь изображают так, как его видят (под определенным углом зрения). На таком изображении отражены все три пространственных измерения, поэтому чтение аксонометрического чертежа обычно не вызывает затруднений.
Аксонометрический чертеж можно получить как с помощью прямоугольного проецирования, так и с помощью косоугольного проецирования. Предмет располагают так, чтобы три основных направления его измерений (высота, ширина, длина) совпадали с осями координат и вместе с ними спроецировались бы на плоскость. Направление проецирования не должно совпадать с направлением осей координат, т. е. ни одна из осей не будет проецироваться в точку. Только в этом случае получится наглядное изображение всех трех осей.
Для получения прямоугольных аксонометрических проекций оси координат наклоняют относительно плоскости проекций Р А так, чтобы их направление не совпадало с направлением проецирующих лучей. При косоугольном проецировании можно варьировать как направлением проецирования, так и наклоном координатных осей относительно плоскости проекций. При этом координатные оси в зависимости от их угла наклона к аксонометрической плоскости проекций и направления проецирования будут проецироваться с разными коэффициентами искажения. В зависимости от этого будут получаться разные аксонометрические проекции, отличающиеся расположением осей координат. ГОСТ 2.317-69 (СТ СЭВ 1979-79) предусматривает следующие аксонометрические проекции: прямоугольная изометрическая проекция; прямоугольная диметрическая проекция; косоугольная фронтальная изометрическая проекция; косоугольная горизонтальная изометрическая проекция; косоугольная фронтальная диметрическая проекция.
§ 26. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Изометрическая проекция отличается большой наглядностью и широко применяется в практике. Координатные оси при получении изометрической проекции наклоняют относительно аксонометрической плоскости проекций так, чтобы они имели одинаковый угол наклона (рис. 236). В этом случае они проецируются с одинаковым коэффициентом искажения (0,82) и под одинаковым углом друг к другу (120°).
В практике коэффициент искажения по осям обычно принимают равным единице, т. е. откладывают действительную величину размера. Изображение получается увеличенным в 1,22 раза, но это не приводит к искажениям формы и не сказывается на наглядности, а упрощает построения.
Аксонометрические оси в изометрии проводят, предварительно построив углы между осями х, у и z (120°) или углы наклона осей х и у к горизонтальной прямой (30°). Построение осей в изометрии с помощью циркуля показано на рис. 237, где радиус R взят произвольно. На рис. 238 показан способ построения осей х и у с использованием тангенса угла 30°. От точки О - точки пересечения аксонометрических осей откладывают влево или вправо по горизонтальной прямой пять одинаковых отрезков произвольной длины и, проведя через последнее деление вертикальную прямую, откладывают на ней вверх и вниз по три таких же отрезка. Построенные точки соединяют с точкой О и получают оси Ох и Оу.
Откладывать (строить) размеры и производить измерения в аксонометрии можно только по осям Ох, Оу и Оz или на прямых, параллельных этим осям.
На рис. 239 показано построение точки А в изометрии по ортогональному чертежу (рис. 239, а). Точка А расположена в плоскости V. Для построения достаточно построить вторичную проекцию а " точки А (рис. 239, б) на плоскости xOz по координатам Х А и Z A . Изображение точки А совпадает с ее вторичной проекцией. Вторичными проекциями точки называют изображения ее ортогональных проекций в аксонометрии.
На рис. 240 показано построение точки В в изометрии. Сначала строят вторичную проекцию точки В на плоскости хОу. Для этого от начала координат по оси Ох откладывают координату Х в (рис. 240, б), получают вторичную проекцию точки b х. Из этой точки параллельно оси Оу проводят прямую и на ней откладывают координату Y B .
Построенная точка b на аксонометрической плоскости будет вторичной проекцией точки В. Проведя из точки b прямую, параллельную оси Oz, откладывают координату Z B и получают точку В, т. е. аксонометрическое изображение точки В. Аксонометрию точки В можно построить и от вторичных проекций на плоскости zОх или zОу.
Прямоугольная диметрическая проекция. Координатные оси располагают так, чтобы две оси Ох и Оz имели одинаковый угол наклона и проецировались с одинаковым коэффициентом искажения (0,94), а третья ось Оу была бы наклонена так, чтобы коэффициент искажения при проецировании был в два раза меньше (0,47). Обычно коэффициент искажения по осям Ох и Oz принимают равным единице, а по оси Оу - 0,5. Изображение получается увеличенным в 1,06 раза, но это так же, как и в изометрии, не сказывается на наглядности изображения, а упрощает построение. Расположение осей в прямоугольной диметрии показано на рис. 241. Строят их, откладывая углы 7° 10" и 41°25" от горизонтальной линии по транспортиру, или откладывая одинаковые отрезки произвольной длины, как показано на рис. 241. Полученные точки соединить с точкой О . При построении прямоугольной диметрии необходимо помнить, что действительные размеры откладывают только на осях Ох и Oz или на параллельных им линиях. Размеры по оси Оу и параллельно ей откладывают с коэффициентом искажения 0,5.
§ 27. КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Фронтальная изометрическая проекция. Расположение аксонометрических осей показано на рис. 242. Угол наклона оси Оу к горизонтали обычно равен 45°, но может иметь значение 30 или 60°.
Горизонтальная изометрическая проекция. Расположение аксонометрических осей показано на рис. 243. Угол наклона оси Оу к горизонтали обычно равен 30°, но может иметь значение 45 или 60°. При этом угол 90° между осями Ох и Оу должен сохраняться.
Фронтальную и горизонтальную косоугольные изометрические проекции строят без искажения по осям Ох, Оу и Oz.
Фронтальная диметрическая проекция. Расположение осей показано на рис. 244. Рис. 245 иллюстрирует проецирование осей координат на аксонометрическую плоскость проекций. Плоскость xOz параллельна плоскости Р. Допускается ось Оу проводить под углом 30 или 60° к горизонтали, коэффициент искажения по оси Ох и Oz принят равным 1, а по оси Оу - 0,5.
ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В АКСОНОМЕТРИИ
Основанием ряда геометрических тел является плоская геометрическая фигура: многоугольник или окружность. Чтобы построить геометрическое тело в аксонометрии, надо уметь строить прежде всего его основание, т. е. плоскую геометрическую фигуру. Для примера рассмотрим построение плоских фигур в прямоугольной изометрической и диметрической проекции. Построение многоугольников в аксонометрии можно выполнять методом координат, когда каждую вершину многоугольника строят в аксонометрии как отдельную точку (построение точки методом координат рассмотрено в § 26), затем построенные точки соединяют отрезками прямых линий и получают ломаную замкнутую линию в виде многоугольника. Эту задачу можно решить иначе. В правильном многоугольнике построение начинают с оси симметрии, а в неправильном многоугольнике проводят дополнительную прямую, которая называется базой, параллельно одной из осей координат на ортогональном чертеже.
ГОСТ 2.317-68* устанавливает прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции.
Построение аксонометрических проекций заключается в том, что геометрическую фигуру вместе с осями прямоугольных координат, к которым
эта фигура отнесена в пространстве, параллельным (прямоугольным или косоугольным) способами проецируют на выбранную плоскость проекций. Таким образом, аксонометрическая проекция - это проекция на
одну плоскость. При этом направление проецирования выбирают так, чтобы оно не совпадало ни с одной из координатных осей.
При построении аксонометрических проекций изображаемый предмет жестко связывают с натуральной системой координат Oxyz. В целом аксонометрический чертеж получается состоящим из параллельной проекции предмета, дополненной изображением координатных осей с натуральными масштабными отрезками по этим осям. Название «аксонометрия» и произошло от слов - аксон - ось и метрео - измеряю.
Виды аксонометрических проекций
Аксонометрические проекции в зависимости от направления проецирования разделяют на:
- косоугольные , когда направление проецирования не перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций;
- прямоугольные , когда направление проецирования перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций.
В зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрии:
- изометрия - все три коэффициента искажения равны между собой;
- диметрия - два коэффициента искажения равны между собой и отличаются от третьего;
- триметрия - все три коэффициента искажения не равны между собой.
Прямоугольная изометрия
В прямоугольной изометрии углы между осями равны 120°. При построении изометрической проекции по осям х, у, z и параллельно им откладывают натуральные размеры предмета. Отсюда название «изометрия», что по-гречески означает «равные измерения»
Построение изометрических проекций плоских геометрических фигур
Рассмотрим построение треугольника на горизонтальной плоскости в изометрической проекции. При построении первоначально необходимо определить расположение фигуры относительно начала координат. Для этого по оси х откладывают расстояние m, равное смещению оси треугольника относительно оси у. Из найденной точки проводят прямую, параллельную оси у, и на ней откладывают отрезок, равный k - смещению основания треугольника от оси х, получили точку 1. Симметрично точке 1 по прямой, параллельной оси х, в обе стороны откладывают отрезки, равные половине основания треугольника – найдены точки 3, 4. Из точки 1 по прямой, параллельной оси у, откладывают отрезок, равный высоте треугольника – определена точка 2. Полученные точки соединяют. Аналогично строят фронтальную и профильную проекцию фигуры.
Аксонометрия
Аксонометрия (от греч. axcon – ось и metreo – измеряю) дает наглядное изображение предмета на одной плоскости.
Изображение предмета в аксонометрии получается путем параллельного проецирования его на одну плоскость проекций вместе с осями прямоугольных координат, к которым этот предмет отнесен.
Коэффициенты искажения по осям в аксонометрии определяют отношением аксонометрических координатных отрезков к их натуральной величине при одинаковых единицах измерения.
Натуральные коэффициенты искажения обозначают:
- по оси x – u ;
- по оси y – v ;
- по оси z – w .
В зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрии:
Изометрия – все три коэффициента искажения равны между собой: u=v=w .
Диметрия – два коэффициента искажения равны между собой и отличаются от третьего u=v≠w ; v=w≠u ; u=w≠v .
Триметрия – все три коэффициента искажения не равны между собой: u≠v≠w .
В зависимости от направления проецирования аксонометрические проекции разделяют на прямоугольные (направление проецирования перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций) и косоугольные (направление проецирования не перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций).
Прямоугольные проекции
Изометрия
Положение аксонометрических осей приведено на рис.1.
Рис.1. |
Коэффициент искажения по осям x , y , z равен 0,82.
Изометрию для упрощения, как правило, выполняют без искажения по осям x , y , z , т. е. приняв коэффициент искажения равным 1.
Построенное таким образом изображение будет больше самого предмета в 1,22 раза, т.е. масштаб изображения будет М 1,22:1 .
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис.2). Если изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x , y , z , то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1,22, а малая ось – 0,71 диаметра окружности. Если изометрическую проекцию выполняют с искажением по осям x , y , z , то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось – 0,58 диаметра окружности.
Пример изометрической проекции детали приведен на рис.3.
Диметрия
Положение аксонометрических осей приведено на рис.4.
Рис.4. |
Коэффициент искажения по оси y равен 0,47, а по осям x и z – 0,94.
Диметрическую проекцию, как правило, выполняют без искажения по осям x и z и с коэффициентом искажения 0,5 по оси y .
Аксонометрический масштаб будет М 1,06:1 .
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис.5). Если диметрическую проекцию выполняют без искажения по осям x и z , то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1,06 диаметра окружности, а малая ось эллипса 1 – 0,95, эллипсов 2 и 3 – 0,35 диаметра окружности. Если диметрическую проекцию выполняют с искажением по осям x и z , то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось эллипса 1 – 0,9, эллипсов 2 и 3 – 0,33 диаметра окружности.
Пример диметрической проекции детали приведен на рис.6.
Косоугольные проекции
Изометрия фронтальная
Положение аксонометрических осей приведено на рис.7.
Допускается применять фронтальные изометрические проекции с углом наклона оси у 30 и 60°.
Фронтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x , y , z .
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, – в эллипсы (рис.8). Большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1,3, а малая ось – 0,54 диаметра окружности.
Пример фронтальной изометрической проекции детали приведен на рис.9.
Изометрия горизонтальная
Положение аксонометрических осей приведено на рис.10.
Допускается применять горизонтальные изометрические проекции с углом наклона оси y 45 и 60°, сохраняя угол между осями x и y 90°.
Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x , y и z .
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной и профильной плоскостям проекций – в эллипсы (рис.11). Большая ось эллипса 1 равна 1,37, а малая ось – 0,37 диаметра окружности. Большая ось эллипса 3 равна 1,22, а малая ось – 0,71 диаметра окружности. Оси фронтальной диметрии
Допускается применять фронтальные диметрические проекции с углом наклона оси у 30 и 60°.
Коэффициент искажения по оси y равен 0,5, а по осям x и z – 1.
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, – в эллипсы (рис.14). Большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1,07, а малая ось – 0,33 диаметра окружности.
Пример фронтальной диметрической проекции детали приведен на рис.15.
Разновидностью которых являются аксонометрические и, в том числе, изометрические проекции, делятся также на ортогональные (перпендикулярные), с направлением проекции перпендикулярным к плоскости проекции, и косоугольные , с углом между направлением и плоскостью, отличным от прямого. По советским стандартам (см. ) аксонометрические проекции могут быть и ортогональными, и косоугольными . По западным же стандартам, аксонометрические проекции являются только ортогональными, а косоугольные проекции рассматриваются отдельно. В результате, по западным стандартам изометрическая проекция определяется более узко и, помимо равенства масштабов по осям, включает условие равенства 120° углов между проекциями любой пары осей. Во избежание путаницы далее, если не указано иное, под изометрической проекцией будет подразумеваться только прямоугольная изометрическая проекция .
Стандартные изометрические проекции
Прямоугольная (ортогональная) изометрическая проекция
В прямоугольной изометрической проекции аксонометрические оси образуют между собой углы в 120°, ось Z" направлена вертикально. Коэффициенты искажения () имеют числовое значение . Как правило, для упрощения построений изометрическую проекцию выполняют без искажений по осям, то есть коэффициент искажения принимают равным 1, в этом случае получают увеличение линейных размеров в раза.
Косоугольная фронтальная изометрическая проекция
Ось Z" направлена вертикально, угол между осью X" и Z" равен 90°, ось Y" с углом наклона 135° (допускается 120° и 150°) от оси Z".
Фронтальная изометрическая проекция выполняется по осям X", Y" и Z" без искажения.
Кривые параллельные фронтальной плоскости проецируются без искажений.
Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция
Ось Z" направлена вертикально, между осью Z" и осью Y" угол наклона равен 120° (допускается 135° и 150°), при этом сохраняется угол между осями X" и Y" равным 90°.
Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям X", Y" и Z".
Ограничения аксонометрической проекции
Изометрическая проекция в компьютерных играх и пиксельной графике
Рисунок телевизора в почти-изометрической пиксельной графике. У пиксельного узора видна пропорция 2:1
Примечания
- По ГОСТ 2 .317-69 - Единая система конструкторской документации. Аксонометрические проекции.
- Здесь горизонтальной называется плоскость, перпендикулярная оси Z (которая является прообразом оси Z").
- Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR) : журнал. - ACM , декабрь 1978. - Т. 10. - № 4. - С. 465-502. - ISSN 0360-0300 . - DOI :10.1145/356744.356750
- Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (англ.) . GameSpot (29 февраля 2000).(недоступная ссылка - история ) Проверено 29 сентября 2008.
- Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Preview (англ.) . IGN (9 сентября 2003). Архивировано
- GDC 2004: The History of Zelda (англ.) . IGN (25 марта 2004). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Проверено 29 сентября 2008.
Инструкция
При проектировании на плоскость аксонометрических проекций П’ натуральной системы координат Oxyz получится аксонометрическая система координат O’x’y’z’, а проекция любой точки – аксонометрической проекцией или аксонометрией A’ ( 1). Если перенести с эпюра горизонтальную проекцию точки A₁ в новую систему, это будет так называемая вторичная проекция и будет иметь аксонометрические координаты.
Отношение аксонометрических координат к натуральным показателями искажения по осям. Они u, v, w, а величина углов между аксонометрическими осями – соответственно α, β и γ.
Существуют различные виды аксонометрии. В машиностроительном чаще применяется прямоугольная аксонометрия. В зависимости от величины показателей искажения u, v, w прямоугольная аксонометрия делится на виды:
Изометрия – показатели искажения по всем трем осям равны между собой u=v=w.
- диметрия – показатели искажения равны по двум осям u=w≠v.
Обычно показатели искажения u, v, w имеют дробные значения, но для упрощения построений используются их приведенные значения. Например, в изометрии приведенные координаты равны натуральным.
Пример. Построить прямоугольную изометрическую проекцию призмы (рисунок 2).
Комплексный чертеж призмы задан в системе осей xyz, начало координат – точка О.
Постройте аксонометрические оси O’x’y’z’. Углы между осями α, β, γ равны 120⁰ (рисунок 3).
В аксонометрических осях постройте вторичную проекцию призмы. Пусть начало координат точка O’ и ось z’ пройдет через основную ось призмы z. Все размеры с комплексного чертежа перенесите на оси x’O’y’ без изменений, т.к. коэффициенты искажения по осям равны 1.
От точки O’ отложите отрезок О₁1₁ и О₁4₁ по оси x’. Отметьте точки 1’ и O’, а по оси y’ отложите отрезок О₁А₁. Получите точки O’, A’.
На эпюре отрезок 6₁5₁ параллелен оси x₁, значит, и отрезок 6’5’ проведите параллельно оси x’. Отложите на нем расстояние А₁6₁ и А₁5₁. Отметьте полученные точки 6’, 5’ и аналогично постройте симметричные им точки 2’, 3’.
Определите положение точек 7’ и 8’, отложив размеры 7₁А₁. Таким образом, в аксонометрической проекции построена вторичная проекция основания призмы – 1’,2’,…8’. Из каждой точки проведите прямые, параллельные оси Z’. На этих прямых отложите высоту каждой точки с фронтальной проекции призмы на эпюре.
От точки 1’ отложите отрезок 1₂9₂, а от точек 2’ и 6’ – отрезок 2₂10₂. От остальных точек 3’, 4’ и т.д. отложите отмеченную высоту h. Соединив все построенные точки, получите аксонометрию данной призмы.